# 概念推導導讀 299 份概念教學導讀；另有 36,000 題逐題詳解，兩者分開查找。 [搜尋全部題目與詳解 →](/zh-Hant/explore/) [← 上一頁](/zh-Hant/derivations/?page=6#results)[1](/zh-Hant/derivations/?page=1#results) … [6](/zh-Hant/derivations/?page=6#results) 7 [8](/zh-Hant/derivations/?page=8#results) … [13](/zh-Hant/derivations/?page=13#results)[下一頁 →](/zh-Hant/derivations/?page=8#results)共 299 項 · 第 7／13 頁 概念導讀 ## [有限雙邊理想：在上三角矩陣環中分開核對左吸收與右吸收](/zh-Hant/derivations/derivation-mko-finite-two-sided-ideal-01/?from=%2Fzh-Hant%2Fderivations%2F%3Fpage%3D7) 父環 U 是 𝔽₂ 上 2×2 上三角矩陣環（元素記為 (a,b,c)，代表第一行 (a,b)、第二行 (0,c)），已通過有限含一環資格。（一）證明 I={(0,0,0),(0,1,0)} 是 U 的雙邊理想。（二）證明 L={(0,0,0),(1,0,0)} 滿足左吸收，但不是雙邊理想。（三）證明對角子環 D={(a,0,c)} 含 1 卻不是理想。（四）說明 {0} 與 U 本身是雙邊理想。 有限雙邊理想 derivation-mko-finite-two-sided-ideal-01 概念導讀 ## [實 Banach 空間：(ℝ², ℓ¹) 的範數、誘導度量與完備性](/zh-Hant/derivations/derivation-mko-real-banach-space-01/?from=%2Fzh-Hant%2Fderivations%2F%3Fpage%3D7) 在 V=ℝ² 上取 ℓ¹ 範數 ‖x‖₁=|x₁|+|x₂| 與同一範數誘導的度量 d₁(x,y)=‖x−y‖₁。（一）證明 ‖·‖₁ 是範數、d₁ 是度量，並算出 d₁((3,−1),(1,2))。（二）由實數的 Cauchy 完備性完整證明 (ℝ²,d₁) 完備，所以 (ℝ²,‖·‖₁) 是實 Banach 空間；並引用有限維實賦範空間完備的命名定理。（三）證明 ‖·‖₁ 不滿足平行四邊形律，所以不是由任何內積誘導。 實Banach空間 derivation-mko-real-banach-space-01 概念導讀 ## [實內積空間：以 Sylvester 條件為 ℝ² 上的矩陣形式作全稱正定證書](/zh-Hant/derivations/derivation-mko-real-inner-product-space-01/?from=%2Fzh-Hant%2Fderivations%2F%3Fpage%3D7) 設 M 為第一行 (2,1)、第二行 (1,3) 的整數對稱矩陣，⟨x,y⟩_M=xᵀMy（x,y∈ℝ²）。（一）分別證明 ⟨·,·⟩_M 雙線性、對稱、正定，所以是 ℝ² 上的內積；正定性以 2×2 Sylvester 條件（完整證明其充分與必要方向）作全稱證書。（二）判定 N（行 (1,2),(2,1)）、P（行 (1,1),(1,1)）、R（行 (2,1),(0,3)）給出的形式為何不是內積。 實內積空間 derivation-mko-real-inner-product-space-01 概念導讀 ## [有界線性算子：矩陣在 ℓ^∞ 與 ℓ¹ 下的精確誘導算子範數](/zh-Hant/derivations/derivation-mko-bounded-linear-operator-01/?from=%2Fzh-Hant%2Fderivations%2F%3Fpage%3D7) 設 A 為第一行 (1,−2)、第二行 (3,4) 的整數矩陣，T(x)=Ax:ℝ²→ℝ²。（一）在兩端都用 ℓ^∞ 範數時，證明對所有 x 有 ‖Ax‖_∞≤7‖x‖_∞，且沒有更小的常數可用，所以 ‖T‖_{∞→∞}=7（最大行絕對值和）。（二）兩端都用 ℓ¹ 範數時，證明 ‖T‖_{1→1}=6（最大列絕對值和）。（三）說明非最佳常數、有限輸入與值域無界這三個陷阱。 有界線性算子 derivation-mko-bounded-linear-operator-01 概念導讀 ## [隨機變數獨立：完整核對有限聯合表，零協方差只是後果](/zh-Hant/derivations/derivation-mko-random-variable-independence-01/?from=%2Fzh-Hant%2Fderivations%2F%3Fpage%3D7) （一）聯合表 J₁：X∈{0,1}、Y∈{0,1,2}，P(0,0)=1/12、P(0,1)=1/12、P(0,2)=1/6、P(1,0)=1/6、P(1,1)=1/6、P(1,2)=1/3。由聯合表聚合兩個邊際，核對全部 6 個值對的乘積式，判定 X、Y 是否獨立；並證明獨立推出任意座標事件 {X∈S} 與 {Y∈T} 獨立與 E[XY]=E[X]E[Y]。（二）聯合表 J₂：X 在 {−1,0,1} 上均勻、Y=X²。證明 Cov(X,Y)=0 但 X、Y 不獨立。（三）聯合表 J₃ 說明只核一個值對不夠。 隨機變數獨立 derivation-mko-random-variable-independence-01 概念導讀 ## [連通分量：以完整 BFS 求出有限簡單圖的全部分量](/zh-Hant/derivations/derivation-mko-connected-component-01/?from=%2Fzh-Hant%2Fderivations%2F%3Fpage%3D7) 設 G=(V,E)，V={0,1,2,3,4,5,6}，E 恰為 {0,1}、{0,2}、{1,2}、{3,4}、{4,5} 五條邊。先證明「有 path 相連」是 V 上的等價關係，再以完整 BFS 求出每個等價類，證明 BFS 回傳的集合恰為該類，並得出 Q(G)={{0,1,2},{3,4,5},{6}}，其中孤立頂點 6 自成單點分量。 連通分量 derivation-mko-connected-component-01 概念導讀 ## [有限整環：以完整乘法表判定 ℤ/5ℤ 與 ℤ/6ℤ，再由有限性推出可逆](/zh-Hant/derivations/derivation-mko-finite-integral-domain-01/?from=%2Fzh-Hant%2Fderivations%2F%3Fpage%3D7) 以完整乘法表判定 ℤ/5ℤ 是有限整環、ℤ/6ℤ 不是；再把「每個非零元可逆」作為定義之後的定理，對任何有限整環用有限性證明，並在 ℤ/5ℤ 中求出全部逆元，同時說明 ℤ/6ℤ 中 2 為何沒有逆元。 有限整環 derivation-mko-finite-integral-domain-01 概念導讀 ## [有限交換環上的多項式環：在 (ℤ/4ℤ)[x] 中做加法、卷積與次數核對](/zh-Hant/derivations/derivation-mko-polynomial-ring-over-finite-commutative-ring-01/?from=%2Fzh-Hant%2Fderivations%2F%3Fpage%3D7) 在 R=ℤ/4ℤ 上取 f=1+2x、g=2x。依係數序列定義計算 f+g、f·g、f·f、g·g 並正規化；證明首項係數公式 (fg)_{m+n}=f_m g_n，說明為何此處 deg(fg)=deg f+deg g 失敗；最後證明 R[x] 不是有限環。 有限交換環上的多項式環 derivation-mko-polynomial-ring-over-finite-commutative-ring-01 概念導讀 ## [內積誘導範數：證明 √⟨x,x⟩ 是範數並在 ℝ² 正定矩陣下精確計算](/zh-Hant/derivations/derivation-mko-inner-product-induced-norm-01/?from=%2Fzh-Hant%2Fderivations%2F%3Fpage%3D7) 在任一實內積空間中證明 N(v)=√⟨v,v⟩ 是範數：非負與分離、絕對齊次、三角不等式（經由完整證明的 Cauchy–Schwarz）。再在 ℝ² 上以 A=[[2,1],[1,2]] 定義的內積，對 x=(1,0)、y=(0,1) 精確算出平方範數、距離平方，並做 Cauchy–Schwarz、三角不等式與平行四邊形恆等式的實例核對。 內積誘導範數 derivation-mko-inner-product-induced-norm-01 概念導讀 ## [有限條件期望：由分割生成的 σ 代數上求 E[X|G]，含零質量區塊](/zh-Hant/derivations/derivation-mko-conditional-expectation-01/?from=%2Fzh-Hant%2Fderivations%2F%3Fpage%3D7) 在 Ω={0,1,2,3,4} 上，質量依序為 1/8、3/8、1/4、1/4、0，X 的值依序為 4、0、2、6、10，G 由分割 {0,1}、{2,3}、{4} 生成。由條件期望的兩項定義（G 可測、在每個 G 事件上積分相同）求出 E[X|G] 的全部版本，證明它在兩個正質量區塊上必為 1 與 4，在零質量區塊 {4} 上可取任意值（只幾乎處處決定），並說明逐點條件化、只核總期望與不加權平均為何都錯。 有限條件期望 derivation-mko-conditional-expectation-01 概念導讀 ## [有限 filtration：以分割細化核對資訊嵌套，並區分 adapted 與獨立](/zh-Hant/derivations/derivation-mko-finite-filtration-01/?from=%2Fzh-Hant%2Fderivations%2F%3Fpage%3D7) 在 Ω={0,1,2,3}（兩次擲幣：0=正正、1=正反、2=反正、3=反反）上，以分割編碼 P_0、P_1、P_2 表示時刻 0、1、2 的 σ 代數。證明「較晚分割細化較早分割 ⇔ σ 代數包含」，逐相鄰時刻完整核對，得出 (F_t) 是 filtration；給出不是 filtration 的分割序列；並證明 filtration 既不使每個過程 adapted，也不推出獨立。 有限filtration derivation-mko-finite-filtration-01 概念導讀 ## [獨立同分布序列：由 Bernoulli(1/3) 柱集乘積公式證明 IID](/zh-Hant/derivations/derivation-mko-iid-sequence-01/?from=%2Fzh-Hant%2Fderivations%2F%3Fpage%3D7) 設 p=1/3，柱集證書規定每個有限 0-1 word w（長度 n、含 k 個 1）的機率為 p^k(1−p)^{n−k}。證明：此族一致且每層總和為 1；由此（配合引用的 Kolmogorov 存在定理）得到 {0,1}^ℕ 上的機率；每個 X_i 的完整邊際都是 Bernoulli(1/3)；每個有限子族都獨立。再以三個對照說明：檢查過的 prefix、pairwise 獨立與相同期望都不足以宣稱無限 IID。 獨立同分布序列 derivation-mko-iid-sequence-01 概念導讀 ## [等價類：在完整有限關係上先認證、再求類，並以非等價關係作對照](/zh-Hant/derivations/derivation-mko-equivalence-class-01/?from=%2Fzh-Hant%2Fderivations%2F%3Fpage%3D7) 在 X={0,1,2,3,4,5} 上，R 由 12 個明列的有序對給出。先完整認證 R 是等價關係，再依定義 [a]={x∈X ∣ aRx} 求出全部類；證明 aRb ⇒ [a]=[b]、任兩類相等或不交、各類覆蓋 X，得 K(R)={{0,3},{1,4},{2,5}}。最後以 S=R∪{(0,1),(1,0)} 說明未通過傳遞性的關係不能形成等價類。 等價類 derivation-mko-equivalence-class-01 概念導讀 ## [完整表認證 F₃ 與有限整環引理](/zh-Hant/derivations/derivation-mko-finite-field-01/?from=%2Fzh-Hant%2Fderivations%2F%3Fpage%3D7) F₃ 是域，2/2=1；有限整環的非零乘法映射給逆元。 有限域 derivation-mko-finite-field-01 概念導讀 ## [同一矩陣誘導的有限維 Hilbert 證書](/zh-Hant/derivations/derivation-mko-real-hilbert-space-01/?from=%2Fzh-Hant%2Fderivations%2F%3Fpage%3D7) 驗 R^2 配 A=[[2,1],[1,2]] 的內積、範數、度量與完備性一致。 實Hilbert空間 derivation-mko-real-hilbert-space-01 概念導讀 ## [兩次公平擲幣的完整鞅檢查](/zh-Hant/derivations/derivation-mko-martingale-01/?from=%2Fzh-Hant%2Fderivations%2F%3Fpage%3D7) 在同一空間逐時核鞅的全部責任。 有限Martingale derivation-mko-martingale-01 概念導讀 ## [模2關係在四元素載體上的商集](/zh-Hant/derivations/derivation-mko-quotient-set-01/?from=%2Fzh-Hant%2Fderivations%2F%3Fpage%3D7) X/R={ {0,2},{1,3} }，且投影值是整個類。 商集 derivation-mko-quotient-set-01 概念導讀 ## [完整映射表的基數證書](/zh-Hant/derivations/derivation-mko-cardinality-comparison-01/?from=%2Fzh-Hant%2Fderivations%2F%3Fpage%3D7) 有單射A→B且|A|=2<3=|B|；反向滿射非單射。 集合基數比較 derivation-mko-cardinality-comparison-01 概念導讀 ## [三點分布的完整CDF](/zh-Hant/derivations/derivation-mko-cumulative-distribution-function-01/?from=%2Fzh-Hant%2Fderivations%2F%3Fpage%3D7) 算出全實軸CDF、右連續值與跳躍。 累積分布函數 derivation-mko-cumulative-distribution-function-01 概念導讀 ## [eventual equality的全稱尾端證書](/zh-Hant/derivations/derivation-mko-convergence-in-probability-01/?from=%2Fzh-Hant%2Fderivations%2F%3Fpage%3D7) 以共同有限空間明證依機率收斂。 依機率收斂 derivation-mko-convergence-in-probability-01 概念導讀 ## [三條自然數列的全稱編碼](/zh-Hant/derivations/derivation-mko-at-most-countable-set-01/?from=%2Fzh-Hant%2Fderivations%2F%3Fpage%3D7) N₀×{0,1,2}以c(n,j)=3n+j單射到N₀，故至多可數。 至多可數集 derivation-mko-at-most-countable-set-01 概念導讀 ## [含孤立點的二分證書](/zh-Hant/derivations/derivation-mko-bipartite-graph-01/?from=%2Fzh-Hant%2Fderivations%2F%3Fpage%3D7) 核兩部的全部責任，區分失敗partition與非二分。 二分圖 derivation-mko-bipartite-graph-01 概念導讀 ## [Bernoulli參數尾端的CDF證書](/zh-Hant/derivations/derivation-mko-convergence-in-distribution-01/?from=%2Fzh-Hant%2Fderivations%2F%3Fpage%3D7) 在極限CDF連續點證依分布收斂。 依分布收斂 derivation-mko-convergence-in-distribution-01 概念導讀 ## [Z/4Z 對偶數理想取商](/zh-Hant/derivations/derivation-mko-finite-quotient-ring-01/?from=%2Fzh-Hant%2Fderivations%2F%3Fpage%3D7) I={0,2}為proper雙邊理想，R/I有兩個cosets及良定雙表。 有限環的商環 derivation-mko-finite-quotient-ring-01 [← 上一頁](/zh-Hant/derivations/?page=6#results)[1](/zh-Hant/derivations/?page=1#results) … [6](/zh-Hant/derivations/?page=6#results) 7 [8](/zh-Hant/derivations/?page=8#results) … [13](/zh-Hant/derivations/?page=13#results)[下一頁 →](/zh-Hant/derivations/?page=8#results)共 299 項 · 第 7／13 頁