# 級數絕對收斂

sum |a_n|收斂時sum a_n絕對收斂；絕對收斂推出收斂，反向不一般成立。

mko-absolute-convergence-of-series · definition · v0.10.0



## 數學敘述

幾何級數用|r|<1證絕對收斂；交錯harmonic以alternating remainder證原級數收斂、以harmonic divergence證非絕對。bounded terms、term→0、|partial sum|皆不足。





## 代表公式（精確 TeX）

A(S)





## 成立條件


- 固定index與exact rational partial sums/tails。
- conditional例子同時有convergence與absolute-divergence證書。





## 符號作用域


- A — 絕對收斂
- S — 級數





## 直觀、定義與常見誤解

核sum |a_n|而非|sum a_n|。

absolute convergence implies convergence。

alternation alone不夠；conditional需雙證書。

由term→0、bounded terms或alternation直接判absolute convergence。





## 已採用的推導導讀

[絕對收斂與交錯調和的雙證書](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-absolute-convergence-of-series-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [無窮級數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-infinite-series/) — partial sums。
- [絕對值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-absolute-value/) — absolute series。
- [數列極限與精確尾界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-sequence-limit/) — 兩級數收斂。





## 驗證界線

只處理明示geometric與alternating-harmonic families。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入comparison tests與power series。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/absolute-convergence-of-series.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-absolute-convergence-of-series/index.md)