# 絕對值

實數 x 的絕對值是 x 到 0 的非負距離，並依 x 的正負號分段取 x 或 -x。

mko-absolute-value · definition · v0.10.0



## 數學敘述

函數 A:R→R 定義為：若 x≥0，則 A(x)=x；若 x<0，則 A(x)=-x。慣用記號為 |x|，且 |x|≥0。





## 代表公式（精確 TeX）

A(x)





## 成立條件


- x 是帶標準線性序與加法逆元的實數。





## 符號作用域


- A — 絕對值函數的代表記號
- x — 實數輸入
- |x| — x 的絕對值慣用記號





## 直觀、定義與常見誤解

若 x≥0，絕對值保留 x；若 x<0，絕對值取其相反數 -x。因此 |x| 永遠非負，且只有 x=0 時 |x|=0。

在數線上，|x| 是 x 到 0 的距離；兩個實數 a 與 b 之間的距離可表示為 |a-b|。距離不因交換端點而改變。

三角不等式 |x+y|≤|x|+|y|、一般不等式解法、複數模與範數都是另需聲明與證明的後續內容，不是這個分段定義本身。

常見誤解是把 |x| 一律寫成 x、把絕對值當成刪除負號的文字規則，或認為 |x| 可以是負數。





## 已採用的推導導讀

[絕對值：由分段定義證明非負性、零點與 |a−b|=|b−a|](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-absolute-value-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [實數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-number/) — 本條目在實數線與標準線性序上定義絕對值。
- [四則運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-arithmetic-operations/) — 負分支使用加法逆元 -x，距離例子使用差。





## 驗證界線

整數案例可由分段規則精確重算，但有限案例不構成全部實數性質、三角不等式或抽象絕對值公理的證明。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

綁定 Mathlib 的 abs、abs_cases、abs_nonneg、abs_eq_zero 與實數線距離 |a-b| 的精確聲明及版本證據。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/absolute-value.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-absolute-value/index.md)