# 解析普通生成函數

數列(a_n)在明示收斂域內以ordinary power series A(x)=sum_{n≥0}a_nx^n解析編碼。

mko-analytic-ordinary-generating-function · definition · v0.10.0



## 數學敘述

coefficient extraction [x^n]A=a_n是編碼責任。有限partial sum只使用明示prefix。對a_n=r^n，A(x)=1/(1-rx)僅在|rx|<1成立。對a_n=a_{n-1}+a_{n-2}且初值a_0,a_1明示，A(x)=(a_0+(a_1-a_0)x)/(1-x-x^2)，boundary terms不可遺漏。formal power-series identity不自動是analytic equality；不得在radius外代值，有限coefficient prefix不決定完整OGF或radius，名稱中的analytic也不授權未證的逐項微分。





## 代表公式（精確 TeX）

A(x)=G(a,x)





## 成立條件


- exact families使用有理coefficients與有理evaluation point，並明示足以保證收斂的domain。
- recurrence family固定二階Fibonacci型homogeneous recurrence及兩個初值。





## 符號作用域


- A — 解析普通生成函數
- x — 變數
- G — 普通生成函數算子
- a — 係數數列





## 直觀、定義與常見誤解

sequence與coefficient extraction一一對位。

geometric closed form必須附收斂域。

recurrence乘上x^n求和時初值產生明示boundary terms。

把formal identity在任意x直接當數值等式，或由有限prefix斷言完整生成函數。





## 已採用的推導導讀

[含初值邊界項的Fibonacci型OGF](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-analytic-ordinary-generating-function-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [遞迴關係](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-recurrence-relation/) — recurrence-to-OGF。
- [冪級數收斂半徑](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-power-series-radius-of-convergence/) — analytic domain。
- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-sequence/) — coefficient data。





## 驗證界線

本節點限ordinary且analytic的明示slice；不自動涵蓋exponential generating functions或formal-only algebra。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入生成函數運算與漸近係數分析。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/analytic-ordinary-generating-function.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-analytic-ordinary-generating-function/index.md)