# 偏誤－變異數分解

逐參數theta，scalar estimator的MSE等於其variance加上bias平方。

mko-bias-variance-decomposition · theorem · v0.10.0



## 數學敘述

每個theta須給完整finite sampling law，主端分別直接計算mean、bias=E_theta[T]-theta、variance=E_theta[(T-E_theta[T])^2]與MSE=E_theta[(T-theta)^2]。展開T-theta=(T-E[T])+bias後，cross term以E[T-E[T]]=0消失，得到MSE=variance+bias^2。多theta逐law核對。unbiased只推出MSE=variance，不推出zero MSE或consistency；單一observed squared error不是MSE。





## 代表公式（精確 TeX）

M(T,t)=V(T,t)+B(T,t)^2





## 成立條件


- theta、support與probabilities皆為exact rationals，law完整且正規化。
- 本輪限scalar estimator與finite sampling law。





## 符號作用域


- M — 均方誤差
- T — 純量估計量
- t — 目標參數
- V — 估計量變異數
- B — 估計量偏誤





## 直觀、定義與常見誤解

四個量由同一完整law獨立計算。

cross term消失需明示centering identity。

biased與unbiased界線不等於zero error。

把單一sample error當MSE，或把unbiased誤解成沒有變異。





## 已採用的推導導讀

[展開cross term的bias-variance推導](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-bias-variance-decomposition-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [估計量均方誤差](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-estimator-mean-squared-error/) — MSE逐theta定義。
- [估計量偏誤](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-estimator-bias/) — bias定義。
- [估計量變異數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-estimator-variance/) — variance定義。





## 驗證界線

每個theta需獨立核對；不由有限表推出consistency或asymptotic optimality。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入有限模型風險與估計量比較。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/bias-variance-decomposition.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-bias-variance-decomposition/index.md)