# 二項式定理

交換乘法環境中，natural exponent n的二項式冪以binomial coefficients完整展開。

mko-binomial-theorem · theorem · v0.10.0



## 數學敘述

n∈N_0，(x+y)^n=sum_{k=0}^n C(n,k)x^(n-k)y^k，coefficients exact且indices/exponents不可錯置。n=0給constant1。combinatorial witness選k個y factors；negative/noninteger exponent與noncommuting variables不在本輪。





## 代表公式（精確 TeX）

(x+y)^n





## 成立條件


- n為非負安全整數，k介於0與n。
- evaluation companions限exact integers。





## 符號作用域


- x — 第一交換項
- y — 第二交換項
- n — 非負整數指數





## 直觀、定義與常見誤解

k從0到n全部包含。

coefficient symmetry與factorial formula exact。

n=0與domain boundary分開。

交換k與n-k指數、漏端點或套negative exponent finite expansion。





## 已採用的推導導讀

[選取y因子的完整二項展開](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-binomial-theorem-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [排列與組合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-permutation-combination/) — binomial coefficients。
- [數學歸納法](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-mathematical-induction/) — 一般n proof。
- [一元有理係數多項式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-polynomial/) — commutative expansion。





## 驗證界線

不無條件套用noncommutative variables。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入Catalan與generating functions。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/binomial-theorem.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-binomial-theorem/index.md)