# 實數列Bolzano－Weierstrass定理

每個整體有界的實數列都有一個以嚴格遞增無限索引取得的收斂子數列。

mko-bolzano-weierstrass-theorem-real · theorem · v0.10.0



## 數學敘述

bounded須為exists M forall n；subsequence index genuinely strictly increasing且無限，並有forall-tail epsilon witness。週期列與oscillatory rational tails提供exact slices。有限prefix/cluster search不足；定理不保證原數列收斂或limit unique。





## 代表公式（精確 TeX）

a_k\to L





## 成立條件


- 主families使用完整periodic law或symbolic oscillatory tail。
- epsilon為正有理且subsequence index為affine strictly increasing。





## 符號作用域


- a_k — 收斂子數列
- L — 子數列極限





## 直觀、定義與常見誤解

whole sequence boundedness不可由prefix取代。

subsequence index須infinite且strict。

只保證某個convergent subsequence。

有限觀察到重複值便宣稱一般BW theorem已證。





## 已採用的推導導讀

[振盪尾的兩個收斂子數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-bolzano-weierstrass-theorem-real-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [子數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-subsequence/) — 嚴格遞增索引。
- [數列極限與精確尾界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-sequence-limit/) — epsilon tail。
- [實數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-number/) — bounded sequence carrier。
- [上確界與下確界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-supremum-and-infimum/) — 存在性支撐。





## 驗證界線

exact題族只證明宣告symbolic sequences。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入sequential compactness。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/bolzano-weierstrass-theorem-real.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-bolzano-weierstrass-theorem-real/index.md)