# Catalan數

Catalan數採C_0=1，並以convolution recurrence或兩個exact closed forms定義同一zero-based sequence。

mko-catalan-numbers · definition · v0.10.0



## 數學敘述

C_(n+1)=sum_{i=0}^n C_i C_(n-i)；C_n=binomial(2n,n)/(n+1)=binomial(2n,n)-binomial(2n,n+1)。division前必須驗(n+1)整除binomial(2n,n)，不可依integer truncation。domain n≥0且不可混用C_0/C_1 index convention。





## 代表公式（精確 TeX）

C_n





## 成立條件


- n為bounded nonnegative safe integer。
- closed-form以BigInt exact arithmetic及remainder-zero certificate。





## 符號作用域


- C_n — zero-based Catalan數





## 直觀、定義與常見誤解

base C_0=1。

recurrence sums all splits。

closed forms需exact divisibility與cross-check。

從C_1起算卻沿用C_0公式，或用truncated division。





## 已採用的推導導讀

[Catalan卷積與整除證書](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-catalan-numbers-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [遞迴關係](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-recurrence-relation/) — Catalan convolution。
- [二項式定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-binomial-theorem/) — closed form coefficients。
- [基本計數原理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-counting-principle/) — combinatorial enumeration。
- [自然數整除](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-natural-divisibility/) — closed-form integrality。





## 驗證界線

負index不在domain；本輪不自動宣稱所有Catalan combinatorial bijections。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入analytic generating function。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/catalan-numbers.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-catalan-numbers/index.md)