# Cauchy序列

度量空間序列為Cauchy，若每個正epsilon最終所有兩項彼此距離皆小於epsilon。

mko-cauchy-sequence · definition · v0.10.0



## 數學敘述

序列(x_n)為Cauchy，若對每個epsilon>0存在N，使所有m,n>=N都有d(x_m,x_n)<epsilon。定義不先假設極限存在或位於空間內。





## 代表公式（精確 TeX）

C(x)





## 成立條件


- 有限列出的尾段只作bounded audit，不能證一般Cauchy。
- 完整證書限明示最終常值模型、倒數序列界，或一個精確反例族。





## 符號作用域


- C — Cauchy紀錄
- x — 序列





## 直觀、定義與常見誤解

Cauchy比較尾段中任兩項，不是只比較候選極限。

最終常值序列對任意epsilon有直接N。

交替正負常值可對每個N給相鄰反例。

長有限尾段很靠近就宣稱整個無限序列Cauchy。





## 已採用的推導導讀

[Cauchy 序列：倒數序列的完整證書、序列在其中無極限的空間、交替反例與最終常值模型](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-cauchy-sequence-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [度量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-metric-space/) — 兩項距離由度量給出。
- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-sequence/) — Cauchy責任量化序列索引。
- [量詞與明示論域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-quantifier/) — 保留forall epsilon exists N forall m,n責任。





## 驗證界線

有限尾段不作一般證明；只接受明示模量或反例族。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入完備度量空間與Banach空間。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/cauchy-sequence.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-cauchy-sequence/index.md)