# 有限群的Cauchy定理

若質數p整除有限群G的階，則G含有一個exact order為p的元素。

mko-cauchy-theorem-finite-groups · theorem · v0.10.0



## 數學敘述

G須由完整Cayley table認證為有限群，p須為質數且p整除|G|。結論是存在g使g^p=e且對每個1≤k<p皆有g^k≠e，故ord(g)=p。本輪完整有限枚舉只為指定model產生element-order witness，不取代一般定理證明；不得外推為每個合數d整除|G|就必有order-d元素。





## 代表公式（精確 TeX）

o(g)=p





## 成立條件


- 正向題族使用完整、封閉且通過結合律、單位元與逆元核對的有限Cayley table。
- 元素階以從1起的最小正整數冪回到identity定義，並完整核對所有較小正冪。





## 符號作用域


- o — 元素階
- g — 有限群元素
- p — 群階的質因數





## 直觀、定義與常見誤解

定理的量詞是每個prime divisor都至少有一個order-p witness。

order-p證書同時要求p次冪回到identity及所有較小正冪不回到identity。

finite table exhaustion只證給定群；一般Cauchy定理仍是定理層責任。

只找到g^p=e卻未排除較小階，或把prime divisor結論錯推到任意composite divisor。





## 已採用的推導導讀

[prime因子的exact-order witnesses](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-cauchy-theorem-finite-groups-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [有限群的Lagrange定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-lagrange-theorem-finite-groups/) — 元素生成的循環子群階整除群階。
- [自然數質數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-prime-number/) — p的質數資格。
- [有限群](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-group/) — 完整群運算。
- [有限群作用](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-group-action/) — 一般證明可使用群作用與軌道計數。





## 驗證界線

本輪不以有限模型取代一般證明，也不聲稱每個合數因子都是某元素的階。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入Sylow定理與有限群結構推論。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/cauchy-theorem-finite-groups.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-cauchy-theorem-finite-groups/index.md)