# 有限變異數IID中央極限定理

共同law且0<σ²<∞的無限IID序列，其正確中心化與sqrt(n)標準化和依分布收斂至標準常態。

mko-central-limit-theorem-finite-variance-iid · theorem · v0.10.0



## 數學敘述

明示無限IID process certificate、共同finite law、mu與0<sigma^2<infinity。令S_n=sum_{i=1}^n X_i，標準化Z_n=(S_n-n*mu)/(sigma*sqrt(n))，則對標準常態CDF的連續點z有P(Z_n≤z)→Phi(z)。exact families完整重算finite law moments、Z_n的mean 0／variance 1與Bernoulli sum lattice；另有完整hypotheses-to-named-theorem symbolic application。有限binomial table不是normal approximation或convergence evidence；non-IID只表示本定理不可套用，zero variance使標準化失效，wrong scaling與finite histogram均不得冒充CLT。





## 代表公式（精確 TeX）

C(X,n,z)=b





## 成立條件


- 序列是明示的無限IID process，不由有限sample推定。
- 共同law具有有限mean與嚴格正、有限variance。
- 標準化使用sigma*sqrt(n)，不是n*sigma或未中心化的和。





## 符號作用域


- C — 中央極限定理算子
- X — 無限IID序列
- n — 樣本大小
- z — 標準常態CDF門檻
- b — 分布收斂結論





## 直觀、定義與常見誤解

完整無限IID與moment資格先於named theorem。

finite standardized moments與binomial lattice可重算，但不是收斂證明。

zero variance、non-IID、wrong scaling與finite histogram分層拒絕。

由一個看似鐘形的有限histogram宣稱CLT，或把sqrt(n)誤換成n。





## 已採用的推導導讀

[有限variance IID的CLT資格與格點audit](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-central-limit-theorem-finite-variance-iid-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [獨立同分布序列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-iid-sequence/) — 無限IID process。
- [依分布收斂](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-convergence-in-distribution/) — CLT結論。
- [有限模型的期望值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-expectation/) — 共同mean。
- [有限機率模型的變異數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-variance/) — 共同positive finite variance。
- [標準常態分布](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-standard-normal-distribution/) — 極限law與CDF。
- [σ-代數與測度空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-sigma-algebra-measure-space/) — 無限process與distribution語義。
- [二項式定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-binomial-theorem/) — Bernoulli sum exact lattice probabilities。





## 驗證界線

finite laws與lattice tables只證指定n；一般distributional limit未形式化。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入Lindeberg條件、Berry–Esseen誤差與multivariate CLT。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/central-limit-theorem-finite-variance-iid.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-central-limit-theorem-finite-variance-iid/index.md)