# Chebyshev不等式

有限均值與變異數的隨機變數偏離均值至少epsilon的機率不超過variance/epsilon²。

mko-chebyshev-inequality · theorem · v0.10.0



## 數學敘述

epsilon>0且mean、variance有限。事件|X-mu|>=epsilon等同(X-mu)^2>=epsilon^2，對非負squared deviation套Markov。上界不等於actual tail，不需要independence；zero mass atoms與zero variance按a.s.語義處理。





## 代表公式（精確 TeX）

C(X,e)





## 成立條件


- 完整正規化有限有理law與total random variable。
- epsilon為正有理數，mean與second moment exact。





## 符號作用域


- X — 有限隨機變數
- e — 正偏差閾值





## 直觀、定義與常見誤解

squared deviation是nonnegative。

Markov threshold為epsilon squared。

Chebyshev不要求independence且只給upper bound。

把bound當tail equality，或令epsilon=0。





## 已採用的推導導讀

[平方偏差的Chebyshev推導](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-chebyshev-inequality-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [Markov不等式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-markov-inequality/) — squared-deviation derivation。
- [有限機率模型的變異數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-variance/) — variance。
- [絕對值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-absolute-value/) — deviation event。





## 驗證界線

finite law是exact instance，不是有限simulation證一般定理。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入total variance與更強concentration bounds。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/chebyshev-inequality.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-chebyshev-inequality/index.md)