# Hausdorff空間中的緊緻集為閉集

若K是Hausdorff空間X的緊緻子集，則K在X中為閉集。

mko-compact-subset-closed-in-hausdorff · theorem · v0.10.0



## 數學敘述

對每個x∉K及每個y∈K，以Hausdorff性選不交open neighborhoods U_y含x與V_y含y；{V_y}覆蓋K，compactness給有限subcover。相應有限個U_y的交集是與K不交的open neighborhood of x，故X\K open。empty compact subset亦closed。Hausdorff假設不可刪；converse也不成立。





## 代表公式（精確 TeX）

C(K)=1





## 成立條件


- 精確題族使用完整有限carrier與完整topology，逐對核Hausdorff並逐集合核open-cover責任。
- finite-topology certificates只證明指定有限實例；一般定理邊界仍保留ambient Hausdorff與compact子集兩項假設。





## 符號作用域


- C — 閉集述詞
- K — 緊緻子集





## 直觀、定義與常見誤解

點對點分離先形成覆蓋K的neighborhood family。

compactness把可能無限的覆蓋縮成有限個，才能交疊x側open sets。

non-Hausdorff空間可有compact但非closed子集；closed也不必compact。

只用一對neighborhood就覆蓋整個K，或遺漏Hausdorff假設便宣稱所有compact subsets closed。





## 已採用的推導導讀

[緊緻把分離鄰域縮為有限個](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-compact-subset-closed-in-hausdorff-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [Hausdorff空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-hausdorff-space/) — 不同點的互斥open neighborhoods。
- [緊緻子集](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-compact-subset/) — open cover的有限subcover。
- [開集與閉集](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-open-closed-set/) — 補集open等價於closed。





## 驗證界線

有限模型核對不是一般證明替代品；逆命題及去除Hausdorff的版本均不成立。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入compact Hausdorff與局部緊緻性。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/compact-subset-closed-in-hausdorff.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-compact-subset-closed-in-hausdorff/index.md)