# 完備度量空間

每個Cauchy序列都收斂到空間內某點的度量空間稱為完備。

mko-complete-metric-space · definition · v0.10.0



## 數學敘述

度量空間(X,d)完備，若X內每個Cauchy序列都收斂到某個仍屬X的點。有限度量空間可由最小正距離證明：Cauchy尾段終將只能取同一點；抽樣若干序列不足以證一般完備性。





## 代表公式（精確 TeX）

C(X)





## 成立條件


- 有限證書使用完整有限度量表且至少一個點。
- 序列題只接受最終常值證書或明示非Cauchy反例；有限前綴不冒充全稱完備證明。





## 符號作用域


- X — 度量空間
- d — 度量
- x — 空間內序列





## 直觀、定義與常見誤解

完備性是空間性質，不是某一條序列的性質。

有限metric的最小正分離距離給全稱證書。

Cauchy但極限離開子空間可否證完備；本輪不以有限模擬取代該責任。

因測過幾條序列都收斂，或序列在ambient空間有極限，就宣稱子空間完備。





## 已採用的推導導讀

[完備度量空間：以最小正距離證明有限度量空間完備，並以 (0,1] 對照](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-complete-metric-space-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [Cauchy序列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-cauchy-sequence/) — 完備性量化所有Cauchy序列。
- [度量空間中的收斂](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-metric-convergence/) — 結論要求在同一空間內收斂。
- [度量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-metric-space/) — 完整度量提供距離責任。





## 驗證界線

完整有限metric證書只證該有限空間；樣本序列不證一般空間完備。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

與範數誘導度量共同加入實Banach空間。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/complete-metric-space.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-complete-metric-space/index.md)