# 緊緻集的連續像

若K在X中compact且f:X→Y連續，則image f(K)在Y中compact。

mko-continuous-image-of-compact · theorem · v0.10.0



## 數學敘述

對f(K)的ambient-open cover取逆像，continuity使逆像open且覆蓋K；K的finite subcover再推回覆蓋f(K)。不需要injective或surjective。compact image不反推domain compact；compact preimage或image closed也各需額外假設（後者常需Hausdorff）。





## 代表公式（精確 TeX）

C(f(K))





## 成立條件


- 正向families使用完整有限來源與目標拓撲、total map及完整open covers。
- K採subspace compactness；cover sets屬target topology。





## 符號作用域


- C — 緊緻性述詞
- f — 連續全函數
- K — 緊緻子集





## 直觀、定義與常見誤解

image cover拉回為K的open cover。

finite subcover indices原樣推回target cover。

定理只有forward direction。

由image compact反推domain compact，或無Hausdorff假設就稱image closed。





## 已採用的推導導讀

[拉回覆蓋再推回索引](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-continuous-image-of-compact-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [緊緻子集](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-compact-subset/) — source compactness。
- [拓撲連續映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-topological-continuity/) — open-preimage property。
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-function-mapping/) — total image/preimage。





## 驗證界線

finite positive certificates不外推所有infinite topology；反例另以standard open interval constant map表達。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入Hausdorff closedness與quotient topology。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/continuous-image-of-compact.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-continuous-image-of-compact/index.md)