# 凸函數

凸域上的函數為凸，若每個兩點凸組合處的函數值不超過相同權重的端點函數值。

mko-convex-function · definition · v0.10.0



## 數學敘述

在凸定義域C上，f為凸若對所有x,y∈C及lambda∈[0,1]，f(lambda x+(1-lambda)y)≤lambda f(x)+(1-lambda)f(y)。本輪用區間與一元仿射／二次函數的完整代數證書。





## 代表公式（精確 TeX）

J(f)





## 成立條件


- 定義域為明示非空實區間；二次函數係數與Jensen實例均精確表示。
- 單一Jensen違反足以否證；單一通過實例不能證凸，正證書需覆蓋全部x、y、lambda。





## 符號作用域


- J — Jensen凸性紀錄
- f — 實值函數





## 直觀、定義與常見誤解

仿射函數對所有Jensen組合取等號。

二次函數的Jensen gap可化為a lambda(1-lambda)(x-y)²。

有限實例只負責給反例或例示，不能替代全稱證書。

定義域非凸仍談一般凸函數，或由幾個Jensen樣本通過宣稱全域凸。





## 已採用的推導導讀

[凸函數：二次函數 Jensen gap 的完整證書與單一 Jensen 反例](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-convex-function-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [凸集合](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-convex-set/) — 函數凸性先要求定義域凸。
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-function-mapping/) — 函數在定義域上須為總映射。
- [實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-order-relation/) — Jensen條件使用不等式比較。





## 驗證界線

只核一元區間上的仿射／二次代數證書。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入嚴格凸、次梯度與高維凸函數。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/convex-function.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-convex-function/index.md)