# 協方差

同一有限聯合分布下協方差為E[XY]-E[X]E[Y]；零協方差通常不推出獨立。

mko-covariance · definition · v0.10.0



## 數學敘述

給同一有限joint law上的X,Y，Cov(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]。協方差對兩變數對稱，仿射變換滿足Cov(aX+b,cY+d)=ac Cov(X,Y)。





## 代表公式（精確 TeX）

Cov(X,Y)





## 成立條件


- 所有期望都從同一精確有限joint law計算。
- 非零協方差可否證獨立；零協方差一般不能證獨立。





## 符號作用域


- Cov — 協方差
- X — 第一變數
- Y — 第二變數





## 直觀、定義與常見誤解

先算EX、EY、EXY再相減。

交換X與Y不改協方差。

X取-1,0,1且Y=X²可給零協方差但依賴的有限反例。

看到Cov=0就宣稱獨立，或混用不同joint models的期望。





## 已採用的推導導讀

[協方差：對稱性、仿射規則與「零協方差不蘊含獨立」](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-covariance-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [有限聯合分布](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-joint-distribution/) — 協方差需要共同law。
- [有限模型的期望值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-expectation/) — 公式含三個期望。
- [有限機率模型的變異數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-variance/) — 協方差與變異數共享中心化二階量。
- [有限樣本空間的實值隨機變數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-random-variable/) — X與Y位於共同機率空間。





## 驗證界線

零協方差不作獨立證書。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入隨機變數獨立、條件期望與相關係數。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/covariance.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-covariance/index.md)