# 子空間直和

二個子空間之和若每個向量有唯一分解便是內直和；要宣稱覆蓋母空間還須另證生成。

mko-direct-sum · definition · v0.10.0



## 數學敘述

在有限維實向量空間以完整基底與exact rank核對二項內直和。U交W為零只保證U+W內的唯一性；V=U直和W還需U+W=V。三項以上不得以兩兩交集為零代替整體唯一性，外直和則使用乘積型新載體。





## 代表公式（精確 TeX）

U+W





## 成立條件


- 所有子空間由完整線性獨立基底表示並使用精確有理rank。
- 內直和、覆蓋母空間、多項直和與外直和分開核對。





## 符號作用域


- U — 第一子空間
- W — 第二子空間





## 直觀、定義與常見誤解

二項內直和的唯一性等價於交集只有零向量。

覆蓋V是另一責任；唯一性本身只談U+W。

三項以上須檢查全部基底聯集的整體獨立性，外直和不可與內直和混同。

把U交W為零直接說成V=U直和W，或用三項兩兩交集為零證整體直和。





## 已採用的推導導讀

[R³中唯一分解與覆蓋](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-direct-sum-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [實向量子空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-vector-subspace/) — 母空間中的封閉子集。
- [集合運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-set-operations/) — 交集與和空間。
- [線性獨立與基底](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-independence-basis/) — 完整基底與rank證書。





## 驗證界線

只處理有限維實座標與exact rank；不宣稱無限直和或拓撲直和。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入商空間與短正合列中的分裂。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/direct-sum.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-direct-sum/index.md)