# 離散指數成長模型

固定時間步與固定非負因子 r 的離散模型滿足 x_(n+1)=r x_n，因此 x_n=x_0 r^n。

mko-discrete-exponential-growth · definition · v0.10.0



## 數學敘述

固定一個時間步與非負常數因子 r，離散指數模型由 x_(n+1)=r x_n 定義。給初值 x_0，反覆代入或歸納得到 x_n=x_0 r^n；這是指定模型的代數結果，不是資料自動符合模型的證明。





## 代表公式（精確 TeX）

x(n+1)=M(r,x(n))





## 成立條件


- 時間步固定且 n 從 0 起算；r 在整段期間保持不變。
- 題庫採精確有理初值與非負有理因子；不把它當連續時間模型或生物族群實測預測。





## 符號作用域


- x — 模型量
- n — 時間步索引
- r — 固定每步因子





## 直觀、定義與常見誤解

r>1 表示每步倍增，r=1 表示因子不變，0≤r<1 表示每步縮放；初值為零時序列仍全為零。

遞迴式與閉式的等價可以逐步重算並以自然數歸納證明。

真實生物系統可能受資源、隨機性、時間變動與量測誤差影響；固定 r 模型本身不證適配性。

看到幾期成長就假設固定因子永遠不變，或把離散因子直接當連續成長率。





## 已採用的推導導讀

[離散指數成長模型：由 x_(n+1)=r·x_n 歸納證明 x_n=x_0·r^n](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-discrete-exponential-growth-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-sequence/) — 離散狀態依自然數時間排列。
- [自然數冪與主平方根](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-power-root/) — 閉式使用 r 的自然數次冪。
- [四則運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-arithmetic-operations/) — 遞迴逐步乘以固定因子。





## 驗證界線

本輪只核對固定步長、固定非負因子的精確離散模型；不是經驗預測。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

建立 logistic 模型、時間變動因子、模型校準與殘差。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/discrete-exponential-growth.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-discrete-exponential-growth/index.md)