# 對偶向量空間

實向量空間的對偶空間由所有實值線性泛函組成；座標covector表示依賴基底。

mko-dual-vector-space · definition · v0.10.0



## 數學敘述

本輪限有限維V=R^n，以row covector給出線性泛函的symbolic全稱證書，並以phi_i(v_j)=delta_ij核dual basis。primal vector與dual functional不混同；沒有額外內積時不宣稱V與V*典範識別。





## 代表公式（精確 TeX）

\varphi\in V^*





## 成立條件


- 固定有限維實空間與明示有序基底。
- 矩陣、泛函值與換基一律使用精確有理運算。





## 符號作用域


- V^* — 對偶空間
- \varphi — 線性泛函
- V — 有限維實向量空間





## 直觀、定義與常見誤解

dual元素是函數而非primal向量。

dual basis要逐對核Kronecker delta。

primal與covector換基律相反；任何識別都需要額外結構。

記號對齊候選：V^* 表示所有實線性泛函 V→R 的對偶空間；代表公式只宣告 φ∈V^*，星號不是未定義的冪指數，也不將向量與泛函典範識別。

因座標列長一樣就把向量與泛函視為同一個典範物件。





## 已採用的推導導讀

[雙基底與covector換基](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-dual-vector-space-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [實向量空間間線性映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-general-linear-map/) — 線性泛函是到R的線性映射。
- [實向量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-vector-space/) — 來源空間與純量域。
- [實數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-number/) — 泛函的值域。





## 驗證界線

只處理有限維R^n與明示基底；不推無限維連續對偶或自然同構。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入annihilator、double dual與adjoint。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/source13-20261018-dual-vector-space.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-dual-vector-space/index.md)