# Euler二次剩餘判準

若p為奇質數且p不整除a，則a^((p-1)/2)模p等於Legendre符號(a/p)的模p代表。

mko-euler-criterion-quadratic-residue · theorem · v0.10.0



## 數學敘述

domain先要求odd prime p及a mod p非零。Legendre值必須由完整nonzero square table獨立重算；modular exponent以repeated squaring獨立計算，再把p-1解讀為-1。residue case輸出+1，nonresidue輸出-1。完整有限square table只核指定p與a，不能取代全體奇質數上的一般定理證明。p=2、composite modulus與a≡0 mod p不屬本定理domain；不得反過來用Euler criterion定義Legendre symbol，composite modulus也無此一般converse。





## 代表公式（精確 TeX）

P(a,p)=L(a,p)





## 成立條件


- p為bounded odd prime；a為safe integer並先normalize。
- square-table與powmod使用兩條獨立計算路徑。





## 符號作用域


- P — 半指數冪剩餘
- a — 整數參數
- p — 奇質數模數
- L — Legendre符號





## 直觀、定義與常見誤解

domain qualification先於公式。

square-table與half exponent比對避免循環定義。

zero、even與composite boundaries分離。

把zero class套成+1、對composite modulus照搬判準，或用判準自身定義Legendre。





## 已採用的推導導讀

[兩條獨立路徑核Euler判準](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-euler-criterion-quadratic-residue-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [Euler定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-euler-theorem-number-theory/) — 非零mod-p群中的冪關係。
- [二次剩餘](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-quadratic-residue/) — square classification。
- [Legendre符號](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-legendre-symbol/) — 三值編碼。





## 驗證界線

本輪不物化Jacobi symbol、quadratic reciprocity或一般合數平方根判定。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入二次互反律與Jacobi符號。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/euler-criterion-quadratic-residue.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-euler-criterion-quadratic-residue/index.md)