# Euler φ函數

Euler φ(n)計數一個完整剩餘代表系中與n互質的代表；約定φ(1)=1。

mko-euler-totient-function · definition · v0.10.0



## 數學敘述

本輪一致使用1≤k≤n的完整代表範圍，以gcd(k,n)=1計數。乘法性只核gcd(m,n)=1的明示實例，不由非互質實例外推。





## 代表公式（精確 TeX）

P(n)





## 成立條件


- n為正整數。
- 使用1到n代表系；n=1時唯一代表1與1互質。





## 符號作用域


- P — Euler φ函數
- n — 正整數模數





## 直觀、定義與常見誤解

完整枚舉代表並精確核gcd。

φ(1)=1按本代表約定保留。

φ(mn)=φ(m)φ(n)只在m,n互質時使用。

漏掉n=1、混用0到n減1與1到n卻重複計數，或忽略乘法性的互質前提。





## 已採用的推導導讀

[逐代表計算φ(12)](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-euler-totient-function-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [自然數質數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-prime-number/) — 質數特例。
- [最大公因數與互質](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-gcd-coprime/) — 篩選互質代表。
- [基本計數原理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-counting-principle/) — 計數完整代表。
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-function-mapping/) — φ為正整數函數。





## 驗證界線

有限枚舉證指定值；乘法題只證指定互質實例。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入模反元素、中國剩餘定理與Fermat小定理。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/euler-totient-function.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-euler-totient-function/index.md)