# 有理係數多項式因式分解

因式分解是在指定係數域中把多項式寫成因子乘積；驗收比較全部係數而不是若干代入值。

mko-factorization · definition · v0.10.0



## 數學敘述

在 Q[x] 中，p 的因式分解候選 p=f·g 是多項式恆等式：展開並合併同次項後每個係數都相同。本條目示範二項式乘積、提公因子與平方差，不宣稱提供全部多項式的完整分解演算法。





## 代表公式（精確 TeX）

x^{2}-a^{2}





## 成立條件


- 固定一個形式變數 x，係數在 Q 中；以有限係數資料表示。
- 因子及乘積都先去尾端零；本輪不把乘常數或重排因子的表示差異當成新的数学內容。





## 符號作用域


- x — 形式變數
- a — 代表平方差的有理常數





## 直觀、定義與常見誤解

(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab；逐項乘法與合併同次項提供可重算的係數身份。對 a∈Q，提公因子例如 ax+a=a(x+1)，仍在同一個一元多項式域中。

平方差 x²−d²=(x−d)(x+d) 是恆等式。本輪用整數 d 及一元係數展開驗證；不由一兩個相同代入值推出完整多項式相等。

可分解性取決於係數域。例如 x²−2 在 Q 中不能分成兩個非定常一次因子，在 R 中卻可使用 ±√2。因式分解不是方程式求根，使用零積性求解還需要指定數域。

把平方和套用平方差公式，或用有限數值吻合冒充沒有次數界證據的多項式恆等式。





## 已採用的推導導讀

[有理係數多項式因式分解：以係數比對驗證提公因子、二項式乘積與平方差](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-factorization-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [一元有理係數多項式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-polynomial/) — 係數比較、乘法卷積與恆等式在同一個多項式域中定義。





## 驗證界線

本輪只驗收明示有限係數的乘積身份；未宣稱一般不可約性、唯一分解或完整演算法已形式證明。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

綁定 Polynomial Q 乘法、coeff_mul、指定恆等式及係數域轉換條件。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/factorization.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-factorization/index.md)