# Fermat小定理

p為質數時a^p同餘a；若p不整除a則可化為a^(p-1)同餘1，逆命題不成立。

mko-fermat-little-theorem · theorem · v0.10.0



## 數學敘述

模數p須明示為prime且p>=2。coprime版本僅在p不整除a時使用；p整除a仍可用all-integer版本但不得消去a。exact modular exponentiation正規化負底數，並以561等合數邊界展示Fermat test converse失敗。





## 代表公式（精確 TeX）

a^p\equiv a\pmod{p}





## 成立條件


- 定理題的modulus經exact primality核對。
- 所有modular powers用整數平方乘法，不展開成浮點冪。





## 符號作用域


- p — 質數模數
- a — 整數底數





## 直觀、定義與常見誤解

coprime form與all-integer form的假設不同。

不可在a不可逆時消去a。

通過Fermat test不證modulus為prime。

記號對齊候選：a^p 與 a 的差可被質數 p 整除；這是模 p 同餘，不是整數恆等式。含 p 整除 a 的情況，不附加不必要的互質限制；合數通過測試仍不證質數。

由a^(n-1)同餘1直接判n為質數，或在n整除a時套coprime版本。





## 已採用的推導導讀

[模7的Fermat證書與合數邊界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-fermat-little-theorem-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [自然數質數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-prime-number/) — prime hypothesis。
- [自然數模同餘](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-modular-congruence/) — 結論語義。
- [自然數冪與主平方根](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-power-root/) — 整數冪。





## 驗證界線

本輪只核Fermat congruences；不把它當確定性primality test。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入Euler theorem、Carmichael function與Miller-Rabin。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/source13-20261018-fermat-little-theorem.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-fermat-little-theorem/index.md)