# 有限交換環

有限含一環若乘法對全部元素對交換，則為有限交換環；零因子仍可能存在。

mko-finite-commutative-ring · definition · v0.10.0



## 數學敘述

在已通過完整有限含一環資格的同一加法與乘法表上，若每個a,b皆有a乘b=b乘a，則為有限交換環。本輪逐一核完整元素對，不由幾個樣本或表面對稱猜測。





## 代表公式（精確 TeX）

C(R)





## 成立條件


- 共同載體及完整加法／乘法表均明示，且先通過有限含一環全部公理。
- 交換律量化所有有序元素對；不額外假設無零因子或非零元可逆。





## 符號作用域


- C — 交換環紀錄
- R — 父含一環





## 直觀、定義與常見誤解

先保留父環的0、1與全部環公理。

乘法交換律逐元素對核對。

交換環仍可能有非零零因子，整環與域另立節點。

看到若干乘積可交換，就宣稱整個環交換，或把交換環直接當整環／域。





## 已採用的推導導讀

[有限交換環：逐元素對核對 ℤ₆ 的交換律，並以上三角矩陣環為非交換反例](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-finite-commutative-ring-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [有限含一環](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-unital-ring/) — 交換性只在同一已認證環表上附加。
- [量詞與明示論域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-quantifier/) — 乘法交換律量化全部元素對。





## 驗證界線

只分類指定完整有限環；不推出無零因子、域或一般無限環結論。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入有限整環與有限交換係數環上的多項式環。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/finite-commutative-ring.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-commutative-ring/index.md)