# 有限群同態的核

有限群同態f:G→Q映到目標identity的完整原像是G的正規子群，且同態fibers恰為kernel的陪集。

mko-finite-group-homomorphism-kernel · definition · v0.10.0



## 數學敘述

來源群與目標群都須由完整Cayley table認證，f須是complete total map並逐對滿足f(xy)=f(x)f(y)。kernel是目標identity的完整preimage，需直接驗subgroup與對所有g,k的gkg^{-1} closure。對任意a,b，f(a)=f(b)恰當a^{-1}b∈ker f，因此nonempty fibers是kernel cosets。kernel只含來源identity恰當f injective。非同態不得套kernel-normality；本節點不提前宣稱quotient或第一同構定理。





## 代表公式（精確 TeX）

K(f)=H





## 成立條件


- 題族使用兩個完整有限群表與完整total mapping array。
- kernel、fibers、normality與injectivity均以完整有限枚舉核對。





## 符號作用域


- K — 核算子
- f — 有限群同態
- H — 正規kernel子群





## 直觀、定義與常見誤解

homomorphism qualification先於kernel結論。

kernel normality以conjugation完整驗證。

fiber-coset等價與trivial-kernel injectivity分開核對。

對任意total map取identity preimage就稱正規kernel，或提前聲稱G/ker f同構於image。





## 已採用的推導導讀

[C₄到C₂的kernel、fibers與單射性](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-finite-group-homomorphism-kernel-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [子群與群同態](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-subgroup-homomorphism/) — homomorphism law與kernel背景。
- [有限正規子群](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-normal-subgroup/) — kernel normality。
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-function-mapping/) — complete total map。





## 驗證界線

本輪不重複一般kernel/image基礎題，專注normality、fibers與injectivity；第一同構定理留待後續。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入有限群第一同構定理。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/finite-group-homomorphism-kernel.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-group-homomorphism-kernel/index.md)