# 有限商群

有限群G依正規子群N的陪集形成商群，元素是cosets且乘法(gN)(hN)=(gh)N必須與代表元無關。

mko-finite-quotient-group · definition · v0.10.0



## 數學敘述

N須先由完整表認證為normal subgroup。全部left cosets形成disjoint complete partition，quotient elements是coset sets而非代表元。乘法表以coset index記錄，且對每一對cosets及所有代表元替換完整驗product落入同一coset。identity為N，inverse由g^{-1}N給出。若N不正規，明示代表元選擇可產生不同product cosets，因此不能建商群。商群不自動commutative，也不提前宣稱第一同構定理。





## 代表公式（精確 TeX）

Q(G,N)=C





## 成立條件


- 題族使用完整有限Cayley table、identity與明示nonempty subset。
- coset partition與所有代表元pairs均完整枚舉。





## 符號作用域


- Q — 商群構造
- G — 有限群
- N — 正規子群
- C — 陪集載體





## 直觀、定義與常見誤解

先建立完整coset partition。

商乘法需對所有代表元替換不變。

nonnormal witness直接否證well-definedness。

把單一representative當quotient element，或未驗normal便直接乘cosets。





## 已採用的推導導讀

[全部代表pairs的商群表](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-finite-quotient-group-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [有限正規子群](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-normal-subgroup/) — well-definedness必要條件。
- [商集](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-quotient-set/) — coset equivalence classes。
- [有限群](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-group/) — 群乘法與inverse。





## 驗證界線

只建立有限商群；不自動聲稱commutative或與image同構。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入有限群第一同構定理。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/finite-quotient-group.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-quotient-group/index.md)