# 有限群第一同構定理

有限群同態f:G→Q由kernel cosets誘導出G/ker f到im f的群同構，而非自動同構到整個codomain。

mko-first-isomorphism-theorem-finite-groups · theorem · v0.10.0



## 數學敘述

來源與目標均須以完整Cayley table認證，f為complete total homomorphism；kernel、image與quotient cosets先完整建立。誘導映射bar f(g ker f)=f(g)必須對每個coset的所有representatives給同值，並完整驗乘法保存、injective與surjective-to-image。若f不surjective，結論仍僅為G/ker f≅im f，不得把image換成整個codomain。有限枚舉只證指定模型；非同態不得套用定理。





## 代表公式（精確 TeX）

I(f)=h





## 成立條件


- 題族使用兩個完整有限群表與完整total mapping array。
- quotient carrier與image carrier均由完整有限枚舉構造。





## 符號作用域


- I — 第一同構定理構造
- f — 有限群同態
- h — 誘導群同構





## 直觀、定義與常見誤解

先資格核對homomorphism、kernel、image與quotient。

代表元獨立性先於induced-map結論。

完整驗同態與雙射，並保留image/codomain界線。

只看cardinality相等就稱同構，或f未滿射時仍宣稱G/ker f≅Q。





## 已採用的推導導讀

[非滿射同態的正確image同構](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-first-isomorphism-theorem-finite-groups-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [有限群同態的核](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-group-homomorphism-kernel/) — kernel與fiber cosets。
- [有限商群](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-quotient-group/) — quotient carrier與well-defined multiplication。
- [子群與群同態](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-subgroup-homomorphism/) — image形成目標群子群。
- [雙射與唯一原像](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-bijective/) — induced map的injective與surjective。





## 驗證界線

本輪的完整有限枚舉證書不取代一般第一同構定理的抽象證明。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入群中心與class equation等結構推論。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/first-isomorphism-theorem-finite-groups.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-first-isomorphism-theorem-finite-groups/index.md)