# 梯度向量

在固定standard Euclidean coordinates中，可微實值函數的一階偏導依座標排列成梯度向量。

mko-gradient-vector · definition · v0.10.0



## 數學敘述

對f:R^n→R，gradient為(partial_1 f,...,partial_n f)，座標順序屬資料。本輪exact slice使用有理係數多項式terms [coefficient, exponent-vector]，以symbolic differentiation產生各coordinate polynomial並在有理點精確求值。gradient zero只證stationary，不充分推出local/global extremum；partial derivatives逐一存在在一般情況不保證differentiability。邊界包含norm在原點的missing partial、x^2-y^2的saddle、不完整coordinate list，以及f(x,y)=s*x^3/(x^2+y^2)、f(0,0)=0在原點兩偏導存在但沿y=x否證可微。





## 代表公式（精確 TeX）

G(f,x)=v





## 成立條件


- dimension、term exponents與point arity完全一致；同類monomials先canonical合併。
- 座標基底固定為standard Euclidean basis，不靜默變換metric或coordinates。





## 符號作用域


- G — 梯度算子
- f — 多變數實函數
- x — 座標點
- v — 梯度向量





## 直觀、定義與常見誤解

symbolic gradient保留dimension與coordinate order。

point evaluation使用exact rationals。

stationary、differentiable與extremum是不同責任。

把partial存在當可微，或把gradient zero當極小／global optimum證明。





## 已採用的推導導讀

[座標梯度、駐點與可微的區別](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-gradient-vector-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [偏導數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-partial-derivative/) — coordinate derivatives。
- [固定基底下的平面向量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-vector/) — ordered component vector。
- [多變數實函數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-multivariable-real-function/) — domain與scalar codomain。





## 驗證界線

本輪不自動給gradient descent收斂、Lagrange multiplier或Hessian分類。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入梯度下降與Lagrange乘數必要條件。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/gradient-vector.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-gradient-vector/index.md)