# 高階導數

以f^(0)=f及f^(n+1)=(f^(n))'遞迴定義每個存在的有限階導數。

mko-higher-order-derivative · definition · v0.10.0



## 數學敘述

n∈N_0且每一中間階都須在宣告domain可再微分。存在第n階不推出第n+1階。多項式exact family用falling-factorial coefficients；order超過degree後為zero。高階導數存在不推出analytic或Taylor series convergence。





## 代表公式（精確 TeX）

D_n(f)





## 成立條件


- 正向families使用low-to-high整係數多項式coefficient array。
- order與evaluation point為bounded safe integers。





## 符號作用域


- D_n — 第n階導數算子
- f — 逐階可微函數





## 直觀、定義與常見誤解

order zero回到原函數。

每次derivative都以前一階存在為前提。

polynomial beyond-degree derivatives為zero。

從f^(n)存在推f^(n+1)存在，或從所有有限階存在直接推analytic。





## 已採用的推導導讀

[四次多項式的全部導數階](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-higher-order-derivative-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [實函數在一點的導數與差商](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-derivative/) — first derivative。
- [多項式的和、乘積與合成微分](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-derivative-rules/) — polynomial differentiation。
- [數學歸納法](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-mathematical-induction/) — recursive order。





## 驗證界線

本輪polynomial certificates不代表一般smooth/analytic theorem。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入Taylor polynomial。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/higher-order-derivative.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-higher-order-derivative/index.md)