# 無窮級數

無窮級數以partial-sum sequence的極限定義；項趨零必要但不充分。

mko-infinite-series · definition · v0.10.0



## 數學敘述

本輪處理精確幾何級數與望遠鏡級數。保留起始index、partial sum與remainder；幾何級數只在|r|<1使用sum公式。長有限prefix與a_n→0皆不足以單獨證收斂。





## 代表公式（精確 TeX）

S(a)





## 成立條件


- 項與partial sums使用精確有理數。
- symbolic tail明示適用的所有n。





## 符號作用域


- S — 級數紀錄
- a — 項數列





## 直觀、定義與常見誤解

partial sums而非單項定義級數。

幾何和保留|r|<1。

telescoping保留remainder；a_n→0與finite prefix不足。

只因項趨零或前很多項穩定就宣稱級數收斂。





## 已採用的推導導讀

[幾何與望遠鏡級數的完整尾項](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-infinite-series-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-sequence/) — 項與partial sums。
- [數列極限與精確尾界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-sequence-limit/) — 級數收斂。
- [四則運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-arithmetic-operations/) — 精確求和。





## 驗證界線

只核明示geometric/telescoping symbolic family。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入absolute convergence與power series。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/infinite-series.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-infinite-series/index.md)