# 內積誘導範數

同一實內積以向量自內積的非負平方根定義範數；三角不等式依Cauchy–Schwarz全稱證書。

mko-inner-product-induced-norm · definition · v0.10.0



## 數學敘述

在同一實內積空間中定義norm(x)=sqrt(<x,x>)。正定性給分離，齊次性給絕對齊次，Cauchy–Schwarz推出三角不等式。本輪以R²正定矩陣精確計算平方範數與恆等式，不以樣本取代全稱證書。





## 代表公式（精確 TeX）

N(J)





## 成立條件


- 內積矩陣已通過雙線性、對稱與正定，向量位於同一R²。
- 平方根保持精確符號；Cauchy–Schwarz是全稱證書，不由有限向量樣本建立。





## 符號作用域


- N — 內積誘導範數
- J — 同一實內積





## 直觀、定義與常見誤解

平方範數<x,x>先以精確整數計算。

距離平方由<x-y,x-y>給出。

Cauchy–Schwarz與parallelogram identity提供結構核對，但不推出完備。

看到若干向量三角不等式通過就宣稱一般範數，或由內積誘導範數直接叫Hilbert。





## 已採用的推導導讀

[內積誘導範數：證明 √⟨x,x⟩ 是範數並在 ℝ² 正定矩陣下精確計算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-inner-product-induced-norm-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [實內積空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-inner-product-space/) — 誘導公式使用同一已認證內積。
- [自然數冪與主平方根](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-power-root/) — 範數為自內積的非負平方根。
- [實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-order-relation/) — 正定性與Cauchy–Schwarz使用實數順序。





## 驗證界線

只核明示R²內積矩陣與精確證書；不推出完備或Hilbert。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

與完備性共同加入實Hilbert空間。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/inner-product-induced-norm.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-inner-product-induced-norm/index.md)