# 等式約束Lagrange乘數必要條件

正則等式約束局部極值點的目標梯度，必為constraint gradients的線性組合。

mko-lagrange-multiplier-condition · theorem · v0.10.0



## 數學敘述

考慮minimize f(x) subject to g_1(x)=...=g_m(x)=0。若x* feasible、f與g_i在鄰域可微，且rows grad g_i(x*)線性獨立（Jacobian full row rank），則local extremum必要地存在唯一lambda使grad f(x*)=J_g(x*)^T lambda；本條目固定這個正號convention。本輪exact slice用有理向量與rank elimination核regularity、stationarity residual，並完整解單一線性constraint下的squared-distance問題。此方程是必要非充分條件；rank deficient只表示本定理不適用，不表示無極值。它不等於含不等式的KKT，也不推出global optimum或unique primal point。





## 代表公式（精確 TeX）

L(f,g,x)=l





## 成立條件


- constraint gradients以rows依宣告順序排列；m不大於dimension且exact rational rank為m。
- stationarity先要求feasibility與regularity；本輪vector arithmetic使用exact rationals。
- single-constraint solved slice要求constraint gradient非零，objective是到center的squared distance。





## 符號作用域


- L — Lagrange乘數條件
- f — 目標函數
- g — 等式約束映射
- x — 正則可行點
- l — 乘數向量





## 直觀、定義與常見誤解

feasibility、differentiability與full-row-rank資格先行。

固定grad f=J_g^T lambda，避免符號與row/column convention漂移。

necessary stationarity不等於sufficient、KKT、global或unique。

解出lambda就宣稱最小值，或在constraint gradients相依時仍聲稱本regular theorem已證。





## 已採用的推導導讀

[正則乘數與完整平方距離解](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-lagrange-multiplier-condition-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [梯度向量](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-gradient-vector/) — 目標與constraint gradients。
- [最佳化問題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-optimization-problem/) — feasible local extremum。
- [二元聯立一次方程組與退化邊界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-system-linear-equations/) — multiplier linear system背景。
- [矩陣秩](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-matrix-rank/) — Jacobian full row rank。
- [線性獨立與基底](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-independence-basis/) — constraint gradient regularity。





## 驗證界線

本輪不處理inequality KKT、second-order sufficient conditions或global optimality。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入tangent-space proof、KKT constraint qualifications與second-order tests。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/lagrange-multiplier-condition.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-lagrange-multiplier-condition/index.md)