# 有限群的Lagrange定理

有限群G的子群H以等大左陪集分割G，因此|G|=[G:H]|H|且|H|整除|G|。

mko-lagrange-theorem-finite-groups · theorem · v0.10.0



## 數學敘述

H須由完整Cayley table認證為subgroup。全部left cosets gH必須相等或不交並完整覆蓋G；h↦gh給出H到gH的bijection，所以每個coset大小為|H|。結論|G|=[G:H]|H|。本輪converse family只證d整除|G|不表示任意指定d-element subset是subgroup；不以該witness證明或否定某個order-d subgroup是否存在。





## 代表公式（精確 TeX）

c(G)=i(G,H)*c(H)





## 成立條件


- 完整有限Cayley table、identity與candidate subset。
- 正向families完整驗identity/product/inverse closure及全部cosets。





## 符號作用域


- c — 有限基數
- G — 有限群
- i — 子群index
- H — 已認證子群





## 直觀、定義與常見誤解

left translation是H到gH的bijection。

cosets equal or disjoint並覆蓋G。

整除結論沒有一般converse。

只因指定subset大小整除群階便稱其為subgroup，或把subset反例誤報成同階subgroup不存在的證書。





## 已採用的推導導讀

[全部左陪集的Lagrange計數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-lagrange-theorem-finite-groups-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [有限群](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-group/) — 完整Cayley table。
- [子群與群同態](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-subgroup-homomorphism/) — subgroup closure。
- [自然數整除](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-natural-divisibility/) — order divisibility。
- [集合基數比較](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-cardinality-comparison/) — finite equal-size partition。
- [商集](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-quotient-set/) — left-coset quotient partition。





## 驗證界線

本輪限完整有限群表；不由sampled products證subgroup。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入有限群Cauchy定理。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/lagrange-theorem-finite-groups.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-lagrange-theorem-finite-groups/index.md)