# 全期望公式

同一有限機率空間上，完整partition各cell的conditional mean按cell probability加權後等於E[X]。

mko-law-of-total-expectation · theorem · v0.10.0



## 數學敘述

令G為完整partition生成的sigma-algebra，tower identity為E(E(X|G))=E(X)。partition兩兩不交且union為sample space；positive-mass cells使用P(B_i)E[X|B_i]，zero-mass cell conditional value只a.s.決定且weighted contribution為0，禁止division by zero。不需independence也不混同Bayes。





## 代表公式（精確 TeX）

E(E(X\mid G))=E(X)





## 成立條件


- 完整正規化有限law、integrable random variable X與完整partition；G由該partition生成。
- zero-mass cells不計算conditional division。





## 符號作用域


- E — 期望與條件期望算子
- X — 可積隨機變數
- G — 完整partition生成的sigma-algebra





## 直觀、定義與常見誤解

partition completeness與disjointness先驗。

positive cells exact conditional means。

zero-mass contribution為0且tower expectation保留。

在zero-mass cell除法，或要求partition events independent。





## 已採用的推導導讀

[含非空零質量塊的全期望](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-law-of-total-expectation-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [有限條件期望](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-conditional-expectation/) — cell conditional means。
- [有限模型的期望值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-expectation/) — global mean。
- [事件](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-event/) — partition cells。





## 驗證界線

本輪限完整有限models；一般sigma-algebra tower另需measure proof。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入全變異數公式。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/law-of-total-expectation.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-law-of-total-expectation/index.md)