# Legendre符號

對奇質數p，Legendre符號以0、1、-1分別編碼zero class、nonzero quadratic residue與nonresidue。

mko-legendre-symbol · definition · v0.10.0



## 數學敘述

先把a normalize modulo odd prime p。若p|a則(a/p)=0；若a是nonzero quadratic residue則為1；否則為-1。Classification由完整nonzero square table或root witness取得，不提前使用Euler criterion。p=2與composite modulus不在本節點domain；少量multiplicativity samples也不構成一般證明。





## 代表公式（精確 TeX）

L(a,p)=s





## 成立條件


- 正向families對bounded odd prime完整枚舉1,...,p-1的squares。
- zero class獨立輸出0；residue/nonresidue只在normalized nonzero class中判定。





## 符號作用域


- L — Legendre符號
- a — 整數參數
- p — 奇質數模數
- s — 0或正負1分類





## 直觀、定義與常見誤解

normalize後zero class優先於residue分類。

complete square table可同時給root witness與nonresidue absence certificate。

Euler criterion屬後續定理，不得循環用來定義本符號。

把zero class標成1、對composite modulus沿用Legendre notation，或以Euler criterion預先證自身定義。





## 已採用的推導導讀

[獨立平方表定義三值Legendre符號](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-legendre-symbol-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [二次剩餘](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-quadratic-residue/) — nonzero square classification。
- [函數映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-function-mapping/) — 固定p下的三值函數。





## 驗證界線

本輪不使用Euler criterion，也不將Legendre符號擴張為Jacobi符號。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入Euler二次剩餘判準。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/legendre-symbol.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-legendre-symbol/index.md)