# 線性組合與生成

線性組合是有限個向量的純量加權和；生成空間收集全部有限線性組合。

mko-linear-combination-span · definition · v0.10.0



## 數學敘述

給實向量空間中的向量族，有限線性組合為有限個實係數加權和。該向量族的span是所有有限長度線性組合的集合，不包含未定義的無限級數。





## 代表公式（精確 TeX）

S(V)





## 成立條件


- 題庫使用固定維度整數座標向量與整數或精確有理係數。
- 每題只核明示有限生成族與候選witness；不以一個固定arity窮盡抽象span定義。





## 符號作用域


- S — 生成空間算子
- V — 有限生成族





## 直觀、定義與常見誤解

加權和要求所有向量維度一致且係數數量匹配。

給定係數可直接重建目標，形成membership witness。

R²兩個獨立生成向量可用非零行列式求唯一座標。

把無限和叫有限線性組合，或只看維度就宣稱某向量在span中。





## 已採用的推導導讀

[線性組合與生成：以有限係數 witness 判定 span 成員](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-linear-combination-span-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [實向量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-vector-space/) — 線性組合使用向量加法與實純量乘法。
- [二元聯立一次方程組與退化邊界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-system-linear-equations/) — 座標membership可化為線性方程。





## 驗證界線

只核有限座標witness；一般span仍量化所有有限組合。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入線性獨立、基底與維度。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/linear-combination-span.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-combination-span/index.md)