# 線性Diophantine方程

非退化整數方程ax+by=c有解恰當gcd(a,b)整除c，全部解由一個整數參數給出。

mko-linear-diophantine-equation · definition · v0.10.0



## 數學敘述

使用extended Euclidean Bézout證書構造particular solution；若d=gcd(a,b)整除c，全部解為x=x0+(b/d)t、y=y0-(a/d)t。a=b=0時c=0有所有整數對，c非零則無解且不得除以d=0。





## 代表公式（精確 TeX）

a(x)+b(y)=c





## 成立條件


- a,b,c為exact integers並保留負號與單一零係數。
- 完整參數化依賴canonical Euclidean演算法而非有限搜尋。





## 符號作用域


- t — 整數參數
- d — 非負最大公因數





## 直觀、定義與常見誤解

gcd divisibility同時是必要與充分條件。

一組解不是全部解；步長必須除以normalized gcd。

雙零係數是獨立退化分支。

找到一組整數解便稱已列完，或在a=b=0時除以gcd零。





## 已採用的推導導讀

[負係數方程的全部整數解](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-linear-diophantine-equation-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [整數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-integer/) — 解域。
- [最大公因數與互質](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-gcd-coprime/) — solvability criterion。
- [一元一次方程式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-equation/) — 線性等式形式。
- [Euclidean演算法](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-euclidean-algorithm/) — Bézout構造與完整參數化。





## 驗證界線

只處理二變數線性整數方程；高維格點與非線性Diophantine另列。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入多變數整數線性系統與Smith normal form。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/linear-diophantine-equation.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-diophantine-equation/index.md)