# Markov不等式

非負且有限期望的隨機變數在正閾值上的尾機率不超過E[X]/a。

mko-markov-inequality · theorem · v0.10.0



## 數學敘述

要求X>=0 almost surely、a>0及E[X]<infinity，結論P(X>=a)<=E[X]/a。完整有限有理law可精確算實際tail與bound；bound不等於tail，signed variable不可直接套用，零閾值禁止。





## 代表公式（精確 TeX）

M(X,a)





## 成立條件


- 完整正規化有限有理law與total random-variable values。
- 主定理題的values全非負且threshold為正。





## 符號作用域


- X — 非負隨機變數
- a — 正閾值





## 直觀、定義與常見誤解

非負性、正閾值與有限期望是明示hypotheses。

實際tail由完整law加總。

Markov給upper bound而非equality。

對可取負值X直接套Markov，或把E[X]/a當實際機率。





## 已採用的推導導讀

[由逐點不等式得到Markov界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-markov-inequality-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [有限樣本空間的實值隨機變數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-random-variable/) — X及其law。
- [有限模型的期望值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-expectation/) — E[X]。
- [有限樣本空間上的機率](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-probability/) — tail probability。
- [實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-order-relation/) — 非負與threshold event。





## 驗證界線

本輪exact題限完整有限law；一般測度版本只敘述不作有限抽樣證明。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入Chebyshev inequality。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/markov-inequality.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-markov-inequality/index.md)