# 數學歸納法

數學歸納法以基礎情況與歸納步驟證明自然數索引的整個命題族。

mko-mathematical-induction · concept · v0.10.0



## 數學敘述

對從 0 起的命題族 P(n)，若 P(0) 成立，且任意自然數 n 都滿足 P(n) 蘊涵 P(n+1)，則所有自然數 n 都滿足 P(n)。





## 代表公式（精確 TeX）

P(n)





## 成立條件


- P 是以自然數 n 為索引的良構命題族。
- 本條目採用 OCME 自然數從 0 開始的慣例。
- 基礎情況與歸納步驟都必須在各自明示的作用域內被證明。





## 符號作用域


- P — 命題族
- n — 自然數索引





## 直觀、定義與常見誤解

基礎情況建立第一個索引的命題；歸納步驟證明只要某一索引成立，下一個索引也成立。兩者合起來沿後繼鏈覆蓋全部自然數。

歸納假設 P(n) 只能在證明 P(n+1) 的步驟中使用，並不是無條件假設整個待證結論。歸納變數與其他參數的作用域也必須分清。

若命題從 1、某個 k 或其他結構開始，必須調整基礎情況與歸納原理；本條目的 P(n) 只是命題族代表式，不是完整邏輯公式。

常見誤解是只驗證幾個前例就宣稱完成歸納，或在歸納步驟外無條件使用歸納假設。





## 前置知識


- [自然數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-natural-number/) — 歸納順序由 0 與後繼所構成的自然數結構提供。
- [命題](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-proposition/) — 歸納法的對象是隨自然數索引變化的命題族。





## 驗證界線

本條目描述歸納原理，但尚未提交一個綁定此中文敘述範圍的 Lean formal proof Evidence。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

以 Nat.rec 或 induction tactic 建立明示 base 與 step 的最小證明，並保存其精確聲明與內容位址。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/mathematical-induction.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-mathematical-induction/index.md)