# 微分中值定理

若a<b，f在[a,b]連續且在(a,b)可微，則某個內點c的導數等於端點割線斜率。

mko-mean-value-theorem · theorem · v0.10.0



## 數學敘述

題族參數A/B/C明確編碼f(t)=A t^2+B t+C。必須a<b、closed interval continuity與open interval differentiability；witness c嚴格位於(a,b)，且f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。c不保證唯一，affine或constant case可有多個witness。有限samples、a=b、jump或interior cusp不足。





## 代表公式（精確 TeX）

D(f,c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}





## 成立條件


- 正向families使用明示f(t)=A t^2+B t+C的整係數一次或二次多項式，因此全域連續可微。
- 端點與witness以exact integer/rational arithmetic核對。





## 符號作用域


- D — 導數值
- f — 實函數
- c — 內點witness
- a — 左端點
- b — 右端點





## 直觀、定義與常見誤解

A/B/C依序是quadratic、linear與constant coefficient。

hypotheses作用在不同區間部分。

secant denominator由a<b保證非零，且witness存在不等於唯一。

由有限點看似平滑便套MVT，或允許c落在端點。





## 已採用的推導導讀

[二次多項式的均值點](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-mean-value-theorem-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [實函數在一點的導數與差商](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-derivative/) — open-interval derivative。
- [實函數的點值與連續](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-continuity/) — closed-interval continuity。
- [兩點間的平均變化率](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-rate-of-change/) — secant slope。
- [實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-order-relation/) — a<b與interior。





## 驗證界線

exact題族限明示多項式及明示反例；不由sampling證一般可微。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入Taylor polynomial與remainder。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/mean-value-theorem.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-mean-value-theorem/index.md)