# 度量空間中的收斂

度量空間序列收斂到x，表示每個正epsilon終有所有n≥N落入x的epsilon球。

mko-metric-convergence · definition · v0.10.0



## 數學敘述

序列x_n在度量空間中收斂到x，若對每個epsilon>0存在N，使所有n≥N都有d(x_n,x)<epsilon。有限樣本尾段通過不足以證一般收斂；明示最終常值的無限序列則可給完整witness。





## 代表公式（精確 TeX）

L(x)





## 成立條件


- 題庫使用完整有限度量表。
- 有限序列題明示為bounded audit；最終常值模型明示prefix後所有項恆等於tail。





## 符號作用域


- L — 極限紀錄
- x — 候選極限





## 直觀、定義與常見誤解

開球使用嚴格d<epsilon。

有限尾段只能核已列索引，不足以證所有未來項。

最終常值序列對任意epsilon可取prefix長度作N；度量分離性給極限唯一。

從長但有限的尾段看似接近就斷言收斂。





## 已採用的推導導讀

[度量空間中的收斂：有限度量表上最終常值序列的極限與唯一性](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-metric-convergence-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [度量空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-metric-space/) — epsilon球與距離來自度量。
- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-sequence/) — 收斂對自然數索引序列量化。
- [量詞與明示論域](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-quantifier/) — 定義保留forall epsilon exists N forall n責任。





## 驗證界線

只有明示最終常值模型提供完整無限witness。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入Cauchy序列、完備性與連續映射。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/metric-convergence.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-metric-convergence/index.md)