# 自然數模同餘

固定正模數 n 時，a 與 b 模 n 同餘表示兩者除以 n 的餘數相同。

mko-modular-congruence · definition · v0.10.0



## 數學敘述

對自然數 a、b 與正自然數 n，a≡b (mod n) 當且僅當 a mod n=b mod n；等價地，存在自然數 k、l 使 a+n·k=b+n·l。





## 代表公式（精確 TeX）

r(a)=r(b)





## 成立條件


- a、b 是自然數，模數 n 為正自然數。
- 本條目刻意排除 n=0，以免把程式語言的 mod-zero 慣例混入通常初等數論語義。





## 符號作用域


- r — 固定正模數下的餘數函數
- a — 第一自然數
- b — 第二自然數





## 直觀、定義與常見誤解

同餘比較的是固定同一模數下的餘數，而不是數值相等。它在自然數上是等價關係。

若 a≡b (mod n) 且 c≡d (mod n)，則加法與乘法保持同餘；有限題目會逐項重算餘數。

取消乘法因子需要額外條件；從 c·a≡c·b 直接取消 c 通常不合法，必須考慮 c 與 n 的最大公因數。

混用不同模數、允許零模數，或無條件在同餘式兩側取消共同因子。





## 已採用的推導導讀

[自然數模同餘：餘數定義、見證形式、運算保持與取消的限制](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-modular-congruence-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [自然數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-natural-number/) — 輸入、模數與餘數都在自然數中。
- [四則運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-arithmetic-operations/) — 同餘計算使用精確除法餘數、加法與乘法。





## 驗證界線

固定正模數的有限餘數可精確重算；本輪不宣稱中國剩餘定理或一般取消律已形式化。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

綁定 Nat.ModEq 的餘數定義、等價關係與 add/mul 保持；另證對稱自然數見證橋。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/modular-congruence.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-modular-congruence/index.md)