# 模反元素

n≥2時，a模n有乘法反元素恰當gcd(a,n)=1；反元素在模n意義唯一。

mko-modular-inverse · definition · v0.10.0



## 數學敘述

使用extended Euclid給exact Bezout certificate ax+ny=1，輸出0≤x mod n<n。modulus0無效；本輪限制n≥2。nonunit明示無inverse，不以除法近似。





## 代表公式（精確 TeX）

I(a)





## 成立條件


- 整數a與模數n≥2。
- 所有同餘及gcd以exact integer arithmetic。





## 符號作用域


- I — 模反元素
- a — 整數代表





## 直觀、定義與常見誤解

gcd=1等價存在inverse。

extended Euclid給Bezout witness。

輸出normalized residue；nonunit無inverse。

對nonunit或modulus0除法，或把整數representative唯一當成residue唯一。





## 已採用的推導導讀

[17模43的正規化逆元](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-modular-inverse-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [最大公因數與互質](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-gcd-coprime/) — 存在條件及Bezout。
- [自然數模同餘](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-modular-congruence/) — 唯一性只到residue class。
- [方程式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-equation/) — ax+ny=1。





## 驗證界線

本輪n≥2；不採n=1退化慣例。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入CRT與模線性方程。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/modular-inverse.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-modular-inverse/index.md)