# 單調有界數列收斂定理

非遞減且有上界的實數列收斂至其項集合supremum；非遞增版本對偶收斂至infimum。

mko-monotone-sequence-convergence-theorem · theorem · v0.10.0



## 數學敘述

保留全稱monotonicity與相應bound。若s=sup{a_n}，s-epsilon不是upper bound給出N，之後由monotonicity控制全部tail。sup/inf未必是某一項。有限prefix不證全序列，monotone無界或bounded nonmonotone不在定理假設。





## 代表公式（精確 TeX）

a_n\to s





## 成立條件


- 主證書使用a_n=L±c/(n+s)，c>0且s>=1的symbolic全tail。
- epsilon為正有理數並求嚴格誤差witness。





## 符號作用域


- a_n — 單調實數列
- s — 極限界





## 直觀、定義與常見誤解

nondecreasing配upper bound，nonincreasing配lower bound。

sup/inf未必attained。

finite prefix與缺一hypothesis皆不足。

由幾項單調便宣稱全序列收斂，或把sup一律當maximum。





## 已採用的推導導讀

[有界單調尾與上確界論證](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-monotone-sequence-convergence-theorem-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [上確界與下確界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-supremum-and-infimum/) — 極限候選。
- [數列極限與精確尾界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-sequence-limit/) — epsilon-tail。
- [實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-order-relation/) — monotonicity與bounds。





## 驗證界線

exact families限明示symbolic tails；不由有限samples證一般定理。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入Bolzano-Weierstrass與更多compactness結果。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/monotone-sequence-convergence-theorem.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-monotone-sequence-convergence-theorem/index.md)