# 軌道－穩定子定理

完整有限群作用中，同一點的orbit大小乘以stabilizer大小等於群階。

mko-orbit-stabilizer-theorem · theorem · v0.10.0



## 數學敘述

固定同一完整有限作用G作用X與x。action map phi_x(g)=g·x對orbit滿射；若g0·x=y，fiber精確等於左陪集g0 Stab_G(x)，故|G|=|G·x||Stab_G(x)|。不要求action free、faithful或transitive；proper sample、不同point綁定或只碰巧數值相等皆不足。





## 代表公式（精確 TeX）

c(G)=c(O(x))*c(S(x))





## 成立條件


- 完整有限群表與total action table已通過全部作用公理。
- orbit、stabilizer與fibers均相對同一指定point完整枚舉。





## 符號作用域


- c — 有限基數
- G — 作用有限群
- O — 軌道算子
- x — 指定點
- S — 穩定子算子





## 直觀、定義與常見誤解

action map的fibers是stabilizer左陪集。

每個fiber大小相同且orbit是像。

計數identity不加入free或transitive假設。

只驗|G|數值乘積，卻未綁定同一作用、同一點或fiber-coset bijection。





## 已採用的推導導讀

[fibers確為stabilizer左陪集](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-orbit-stabilizer-theorem-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [有限群作用的軌道](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-group-orbit/) — 完整orbit。
- [有限群作用的穩定子群](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-group-stabilizer/) — 同一point stabilizer。
- [集合基數比較](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-cardinality-comparison/) — finite coset/fiber counting。





## 驗證界線

本輪限完整有限作用；不由sampled group elements推一般定理。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入Cauchy定理與同態kernel。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/orbit-stabilizer-theorem.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-orbit-stabilizer-theorem/index.md)