# 道路連通空間

空間中任意兩點若可由單位區間的連續映射連接，則空間道路連通。

mko-path-connected-space · definition · v0.10.0



## 數學敘述

path是continuous gamma:[0,1]→X且gamma(0)=x、gamma(1)=y。exact families以實interval與finite-dimensional box的linear path、兩條path的piecewise concatenation核endpoint、range與接點；disconnected gap與兩點discrete space用connected-image責任排除。只給有限sample points、只對某一對端點有path或忽略continuity都不證path connected。path connected推出connected，但一般converse不成立。





## 代表公式（精確 TeX）

H(X,x,y)=g





## 成立條件


- domain固定為帶通常拓撲的閉單位區間。
- 每條candidate path須同時核連續性、endpoint與全range containment。





## 符號作用域


- H — 道路連通性算子
- X — 拓撲空間
- x — 路徑起點
- y — 路徑終點
- g — 連續路徑





## 直觀、定義與常見誤解

endpoint、continuity與全range containment缺一不可。

convex interval／box給明示linear path，concatenation另驗接點。

一對點或有限samples不證全稱path connectedness。

把點列、圖上的walk或某一對點可連接當成拓撲path。





## 已採用的推導導讀

[凸盒中的全稱路徑與拼接](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-path-connected-space-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [拓撲連續映射](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-topological-continuity/) — path continuity。
- [連通拓撲空間](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-connected-topological-space/) — path connected implies connected與反向邊界。
- [實數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-number/) — unit interval。
- [實數大小與順序](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-order-relation/) — 0≤t≤1與interval containment。
- [有限乘積拓撲](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-product-topology/) — box path的product codomain。
- [介值定理](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-intermediate-value-theorem/) — gap與discrete boundary的connected-image證書。
- [函數合成](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-composition/) — path concatenation與continuous image。
- [四則運算](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-arithmetic-operations/) — linear path與piecewise參數化。





## 驗證界線

linear exact witnesses只證指定convex spaces；一般connected不推出path connected。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入local path connectedness與fundamental group入口。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/path-connected-space.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-path-connected-space/index.md)