# 有限交換環上的多項式環

係數取自有限交換環的普通多項式以有限支撐係數序列表示，但所有任意有限次多項式合成的載體仍是無限。

mko-polynomial-ring-over-finite-commutative-ring · definition · v0.10.0



## 數學敘述

R為有限交換含一環時，R[x]的每個元素是有限支撐係數序列；加法逐係數，乘法為有限卷積。若1不等於0，單項式1,x,x平方等依degree互異，因此普通R[x]不稱有限環。





## 代表公式（精確 TeX）

P(R)





## 成立條件


- 係數環用完整有限交換環雙表；多項式係數陣列以尾端零正規化。
- 不假設R為域、整環、UFD或Euclidean domain；有零因子時不使用degree乘法加法公式。





## 符號作用域


- P — 多項式環紀錄
- R — 有限係數環





## 直觀、定義與常見誤解

尾端零不改多項式，須正規化。

加法逐項、乘法有限卷積並用R內運算。

有限係數集不限制degree，因此R[x]通常無限。

把有限係數環上的普通多項式環也叫有限載體，或在有零因子時硬套degree(fg)=degree f+degree g。





## 已採用的推導導讀

[有限交換環上的多項式環：在 (ℤ/4ℤ)[x] 中做加法、卷積與次數核對](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-polynomial-ring-over-finite-commutative-ring-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [有限交換環](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-commutative-ring/) — 係數加乘由父環完整表給出。
- [一元有理係數多項式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-polynomial/) — 元素以有限係數序列表示。
- [數列](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-sequence/) — 有限支撐係數序列及卷積使用索引。





## 驗證界線

只計算明示有限支撐多項式；不宣稱域、整環、UFD、Euclidean或有限載體。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入多項式理想、商環與有限域多項式。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/polynomial-ring-over-finite-commutative-ring.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-polynomial-ring-over-finite-commutative-ring/index.md)