# 一元有理係數多項式

把多項式視為有限支撐的有理係數資料；合併同次項後再讀取係數與次數。

mko-polynomial · definition · v0.10.0



## 數學敘述

Q[x] 的一元多項式以有限個有理係數 a_k 表示 p(x)=a_0+a_1x+⋯+a_nx^n，指數均為非負整數。非零多項式的次數為最大非零係數的索引；本條目把零多項式的次數記為未定義。





## 代表公式（精確 TeX）

x^{n}





## 成立條件


- 固定形式變數 x，係數屬於 Q，僅有限個係數非零。
- 係數向量按 [a_0,a_1,…] 由低次至高次排列；尾端零不改變多項式。





## 符號作用域


- x — 形式變數
- n — 代表單項式的非負整數指數





## 直觀、定義與常見誤解

多項式不是只看字面項數。相同次冪的係數要先相加；例如 x²−x²+3 化成常數 3，次數為零。零多項式與非零常數多項式不可混淆。

加法逐次相加係數；乘法按指數和合併，所得係數是有限卷積。代入一個數值是對同一份係數資料求值，單個代入值相等不建立多項式恆等式。

本輪題庫限定整數係數與整數輸入的精確切片，係數查詢超過支撐處為零。零多項式的『未定義』是教學慣例；未來須分別對應 Mathlib.degree 的 ⊥ 與 natDegree 的補零，不能混作一般次數。

未先合併同次項就取最高字面指數，或用向量長度及尾端零決定次數。





## 已採用的推導導讀

[一元有理係數多項式：合併同次項、係數向量、次數與零多項式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-polynomial-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [變數與代數式](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-variable-expression/) — 先區分形式表達式與指定代入值。
- [自然數冪與主平方根](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-power-root/) — 多項式項使用非負整數次冪。
- [有理數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-rational-number/) — 係數明示在有理數域中。





## 驗證界線

有限係數可逐項驗證；本條目尚未形式化多項式資料、求值與次數的語義橋。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

綁定 Polynomial Q、coeff、eval、degree 與 natDegree 的零多項式差異。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/polynomial.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-polynomial/index.md)