# 冪級數收斂半徑

冪級數在中心c周圍具有內部絕對收斂、外部發散的半徑R，邊界點須逐案判定。

mko-power-series-radius-of-convergence · definition · v0.10.0



## 數學敘述

對sum_{n≥0} a_n(x-c)^n，R可為0、有限正數或infinity。若|x-c|<R則絕對收斂；若|x-c|>R則發散；|x-c|=R時不能由R單獨判定。本輪geometric law固定a_n=q^n；endpoint law固定a_n=R^(-n)/(n+1)^p；prefix boundary的兩序列在0≤n≤N皆為0，之後分別為q_1^(n-N-1)與q_2^(n-N-1)。Ratio test只在相應極限存在時可用，不能當一般定義。有限coefficient prefix不足以決定一般radius，且不得以只支援bounded-real supremum的規則排除R=0或infinity。





## 代表公式（精確 TeX）

R(f,c)=r





## 成立條件


- 每個exact family明示對全部n有效的coefficient law：geometric q^n、endpoint R^(-n)/(n+1)^p、factorial extremes或zero-prefix後的geometric tails。
- radius與point位置以exact rational或0/infinity標記處理；endpoint另作獨立classification。





## 符號作用域


- R — 收斂半徑
- f — 冪級數
- c — 展開中心
- r — 擴充非負半徑





## 直觀、定義與常見誤解

geometric family的完整law是a_n=q^n，故R=1/|q|。

endpoint family用a_n=R^(-n)/(n+1)^p展示兩端可有不同收斂型態。

R=0、R=infinity及兩條共享完整有限prefix但具有不同geometric tails的序列均為定義邊界。

把endpoints自動算入、把ratio limit不存在當R不存在，或由有限係數前綴唯一決定R。





## 已採用的推導導讀

[半徑、端點與完整係數律](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/derivations/derivation-mko-power-series-radius-of-convergence-01/)原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。





## 前置知識


- [無窮級數](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-infinite-series/) — pointwise級數收斂。
- [上確界與下確界](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-supremum-and-infimum/) — 收斂集合半徑的極值描述。
- [絕對值](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-absolute-value/) — 距中心距離與絕對收斂。
- [自然數冪與主平方根](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-power-root/) — coefficient growth與root behavior。





## 驗證界線

本輪只對明示coefficient laws給exact證書；一般series仍需limsup或其他完整論證。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。





## 下一個義務

加入實指數函數與解析普通生成函數。





## 同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。

[原始 MKO JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/mko/power-series-radius-of-convergence.json) · [純文字 Markdown](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-power-series-radius-of-convergence/index.md)